การนับ (Counting)คือการ 'นับ' จำนวนลำดับทั้งหมดที่เป็นไปได้ภายใต้แผนการใดแผนการหนึ่ง ซึ่งเป็นรากฐานของคณิตศาสตร์เชิงการจัดหมู่ โดยมีวัตถุประสงค์เพื่อแยกแยะเหตุการณ์ที่ซับซ้อนให้กลายเป็นการดำเนินการย่อย ๆ ที่ง่ายและไม่ซ้ำกันหรือเรียงลำดับกัน
ลองนึกภาพว่าคุณกำลังจะเข้าไปในลานสวน:
1. การบวกแบบแบ่งกลุ่ม (ขนาน)มีประตูอยู่ด้านซ้าย $m$ ประตู และด้านขวา $n$ ประตู คุณสามารถเลือกประตูใดประตูหนึ่งก็พอ จำนวนวิธีการคือ $m+n$
2. การคูณแบบขั้นตอน (ลำดับ)：你要通过两道墙，第一道墙有 $m$ 个门，第二道有 $n$ 个门。你必须连过两关。方法数：$m \times n$。
ลองนึกภาพว่าคุณกำลังจะเข้าไปในลานสวน:
1. การบวกแบบแบ่งกลุ่ม (ขนาน)มีประตูอยู่ด้านซ้าย $m$ ประตู และด้านขวา $n$ ประตู คุณสามารถเลือกประตูใดประตูหนึ่งก็พอ จำนวนวิธีการคือ $m+n$
2. การคูณแบบขั้นตอน (ลำดับ)：你要通过两道墙，第一道墙有 $m$ 个门，第二道有 $n$ 个门。你必须连过两关。方法数：$m \times n$。
นิยามหลักของหลักการนับ
หลักการนับแบบบวกโดยการแบ่งกลุ่มสำหรับปัญหาแบบ 'แบ่งกลุ่ม' แต่ละประเภทของการดำเนินการสามารถทำภารกิจได้อย่างอิสระ หัวใจสำคัญคือการรวมกันแบบไม่ทับซ้อนของเซต: $N = m_1 + m_2 + \dots + m_n$
หลักการนับแบบคูณโดยการแบ่งขั้นตอนสำหรับปัญหาแบบ 'แบ่งขั้นตอน' แต่ละขั้นตอนมีความสัมพันธ์กัน และต้องทำทุกขั้นตอนจนเสร็จจึงถือว่าภารกิจสำเร็จ หัวใจสำคัญคือผลคูณเชิงคาร์ทีเซียนของเส้นทาง: $N = m_1 \times m_2 \times \dots \times m_n$
การแบ่งกลุ่มเน้น 'อิสระและครอบคลุม' ส่วนการแบ่งขั้นตอนเน้น 'พึ่งพาและต่อเนื่อง'
การแบ่งกลุ่มอิสระ $\implies \sum n_i$
การแบ่งขั้นตอนต่อเนื่อง $\implies \prod m_i$
การแบ่งขั้นตอนต่อเนื่อง $\implies \prod m_i$